Научить ребят решать задачи, пользуясь методом Гаусса. Ученики должны уяснить , что подсчет суммы последовательных чисел можно провести через группировку чисел в пары. Запомнить, что сумма чисел от 1 до 10 есть 55, а от 1 до 9 есть 45.

Учитель: Запишите тему урока: метод Гаусса. Вы сегодня узнаете кто такой Гаусс и что такое метод Гаусса и как его можно применить.

В истории математики известен такой случай. Однажды, а было это в Германии, в конце 18 в., для того чтобы заставить учеников поработать, учитель дал им задание подсчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Какова же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050! Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, а ему было тогда 10 лет, стал одним из великих математиков мира. Как же маленькому Гауссу удалось быстро подсчитать сумму? Запишите в тетради: Карл Гаусс, 18в, Германия. Чтобы понять, как рассуждал Гаусс, разберем задачу

 Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 10. Запишите в тетради:

 1 + 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 + 9 +10. 

Попробуйте найти ответ этого примера. Учитель дает время 1 минуту (так же как и маленькому Гауссу). Он заранее знает, что большинство ребят будет считать напрямую, т.е. к 1 прибавлять 2, затем 3 и т.д. При этом подсчет будет выполнять устно и запишет только ответ. По мере того как дети будут решать, учитель обходит класс и проверяет ответы. Те, кто получили 55 на полях должны поставить 1 балл. При этом надо дать возможность каждому получить за это задание по 1 баллу, т.е. если у кого-то будет неверно подправить его или подсказать. Затем вызывает к доске трех желающих и спрашивает как они нашли ответ. При этом учащиеся учатся проговаривать свое решение. То есть они показывают словесно другим учащимся как они рассуждали. Если все ответы одинаковые, стоит послушать каждого. Бывает очень интересно. После этого необходимо перейти к важному шагу. А как же считал Гаусс. Как по другому можно найти ответ. Мы для этого на доске делаем маленькую подсказку и при этом будем молчать(соединяем линией числа в пары 1 с10, 2 с 9,…,5 с 6). 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Хотя некоторые из ребят покажут и расскажут правильное другое решение и получат за это 1 балл, учителю надо показать самим как решается задача, чтобы у детей был более точный образец рассуждения. Объединим слагаемые в пары – первое с десятым, второе с девятым и т.д. Всего у нас 5 таких пар, и каждая пара в сумме дает 11. Поэтому искомая сумма равна 11 × 5 = 55.

Теперь надо предоставить возможность детям найти сумму чисел от 1 до 14. Дать время на решение 3 минуты. Ответ: (1+14)× 7=105. За правильное решение 1 балл. Здесь и в дальнейшем за правильные идеи и решения надо стимулировать учащихся, т.к. на олимпиадах даже за неполное решение, а за правильный подход ученик может получить дополнительные баллы. И к этому мы приучаем уже на наших занятиях. 

Найти сумму чисел от 1 до 9. Эта задача потруднее, т.к. все числа уже нельзя разбить на пары. Попросить ребят все же воспользоваться разбиением на пары тех чисел, с которыми это можно сделать. Ответ: (1+9)× 4+9=45, 55-10=45. Данный результат также будет часто встречаться в олимпиадных задачах. 

А теперь перейдем к задаче маленького Гаусса. Здесь учителю можно дать время решить детям самим, а затем после совместного обсуждения записать решение у доски. Найти сумму чисел от 1 до 100. Трудность заключается в форме записи 1+2+3…+98+99+100. Надо объяснить, что все числа мы не можем записать, поэтому используем такую запись: 1+2+3+…+98+99+100=(1+100)× 50. Ответ: (1+100)× 50=5050.

Попробуйте решить следующую задачу, где применяется метод Гаусса. Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить на три кучки равным весом? Решение. Сумма масс всех гирек 45г. Значит в одной кучке будут гири весом 15г. Попробуем это сделать: 1г+9г+5г,2г+6г+7г,3г+4г+8г. Здесь возможны и другие результаты, например: 1г+8г+6г, 3г+5г+7г, 2г+4г+9г.

Можете ли вы разделить циферблат часов прямой линией на 2 равные половины так, чтобы суммы чисел на каждой половине были равны? Ответ: Проведите линию между 9 и 10, между 3 и 4.

Проведите на циферблате часов две прямые линии, чтобы в каждой части сумма чисел была одинакова. (1+12)× 6=78 – сумма чисел от 1 до 12. Нужно, чтобы в каждой части было 78:3=26. Линии провести между 1)10, 11 и 2,3 2) 8,9 и 4,5.

Летит стая птиц. Впереди одна птица(вожак), за ней две, потом три, четыре и т.д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20? Ответ: Это сумма чисел от 1 до 20. (1+20)×10=210.

Как рассадить 45 кроликов в 9 клетках так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов? Ответ: В первую –1, во вторую –2, …, в девятую-9.

Вычислите сумму, используя прием Гаусса:

а) 21 + 22 + 23 +…+ 30; Ответ: 51× 5=255

б) 5 +10 + 15 + 20 + …+ 100; Ответ: (5+100)× 10=1050

в) 93 + 83 +…+ 23 + 13 + 3; Ответ: (93+3)× 5=480

г) 1 + 2 + 3 + 4 +…+18 + 19 +20; Ответ: (20+1)× 10=210

д) 1+2+3+4+5+6; Ответ: (1+6)× 3=21

е) 2+4+6+8+10+12; Ответ: (2+12)× 3=42

ж) 2+4+6+8+10; Ответ: (2+10)× 2+6=30

з)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11; Ответ: 55+11=66.

Задача очень сложная. Ее можно просто разобрать в 5 классе. Набор состоит из 12 гирек массой 1г,2г,…,12г из набора убрали 4 гирек, общей массой которых равна трети общей массы всех гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии? Вес всех гирь равен (1+12)× 6=78. Ее третья часть – 78:3=26. Разобьем все гири на пары 1-12, 2-11, 3-10, 4-9, 5-8, 6-7. Если мы уберем 4 гири весом 26 грамм, то при этом мы «разобьем» самое большее четыре пары, а две пары останутся точно нетронутыми, которые составляют тоже треть общей массы. Таким образом. Мы получили первую четверку убранную, вторую четверку гарантированно оставшуюся (две пары) и третью четверку нетронутую, которая тоже будет весом 26 грамм. Ответ: Можно.