|
Этот раздел можно
назвать винегретом, в котором
есть два объединяющих
ингредиента. Во-первых, для
решения этих задач
практически не нужно знать "крутой"
математики, нужно лишь уметь
логически мыслить. А во-вторых,
все они в разные годы
предлагались на Уральских
турнирах юных математиков.
| Задача
1. |
|
|
|
- Сколько
лет вашему внуку? -
Моему внуку столько
месяцев, сколько мне лет,
а вместе нам 65. Так
сколько же лет внуку и
сколько – бабушке? |
|
|
|
Поскольку внуку,
очевидно, целое число лет(иначе
сумма возрастов не было
бы целым числом лет), то
количество прожитых им
месяцев делится на 12.
Значит и возраст бабушки
делится на 12. Ближайшее к
65 число, которое делится
на 12, - это 60. Поделив 60 на
12, получаем возраст внука
– 5 лет. И действительно,
60+5=65
|
|
| Задача
2. |
|
|
| Все
натуральные числа от 1000
до 200 записаны подряд:
100010011002…19992000. Сколько раз
в этом ряду после
нечётной цифры идёт
чётная? |
| Решение |
|
Господа
программисты, не
торопитесь писать
программу! Давайте
разберём задачу на
четыре простых подзадачи.
Во-первых, ответим на
вопрос, сколько раз после
нечётного числа (от 1001 до
1999) идёт четная цифра?
Ответ прост: ровно один
раз,.. после 1999 идёт
двойка от числа 2000.
теперь вторая подзадача:
Сколько раз в числах,
выписанных в ряд, бывает
нечётное количество
десятков и чётное
количество единиц?
Считаем: есть пять чётных
цифр для разряда
единиц, пять нечётных
цифр для разряда
десятков и любые из
десяти цифр в разряде
сотен. Итого 10*5*5=250.
Подзадача третья:
сколько раз бывает
нечётное число сотен и
чётное количеств
десятков? Расчёт тот же: 5*5*10=250.
И, наконец, подзадача
четвёртая: сколько раз
бывает нечётное
количество тысяч и
чётное число сотен? Число
тысяч нечётно всегда (там
стоит единица), а чётных
сотен всего 5 – итого
имеется 5000 таких чисел. В
сумме получаем ответ:
1+250+250+500=1001
|
|
| Задача
3. |
|
|
| Имеются
чашечные весы и четыре
гири, сделанные из
одинакового металла.
Одна из них большая, а
другая – поменьше,
третья ещё меньше, а
четвёртая - самая
маленькая. Гири по
очереди ставятся на
чашки весов (на каждом
шаге со стола берётся
любая гиря и ставится на
любую чашку весов).
Известный хвастун Петя
Сидоров не знает точного
веса гирь, но заявляет,
что сможет ставить гири
на весы так, что сначала
три раза перевесит
первая левая чашка, а
последний раз – правая.
Стоит ли ему верить? |
| Решение |
|
Как ни странно,
он прав. Упорядочим гири
по убыванию веса: первая
самая тяжелая, гиря
полегче – вторая, еще
полегче – третья, и
самая маленькая, она же
самая легкая – четвертая.
Теперь положим на левую
чашку вторую гирю. Чашка
перевесит. Добавим к ней
четвертую – без
изменений. Поставим на
правую чашку третью гирю.
Левая чашка по-прежнему
будет перевешивать, т.к.
на ней есть вторая гиря –
более тяжелая, чем третья.
Теперь положим на правую
чашку, первую, самую
тяжелую гирю. Правая
чашка перевесит, т.к.
первая тяжелее второй, а
третья тяжелее второй.
Полный триумф Пети
Сидорова!
|
|
| Задача
4. |
|
|
| В
комнате находится 10
человек, некоторые из них
говорят правду, а
остальные всегда лгут. На
каждом из них надета
черная или белая шапка.
Каждый из них сказал: «Среди
остальных 9 человек (всех
кроме меня) ровно трое
носят черные шапки».
Сколько из них может быть
лжецами? |
| Решение |
|
Трое,
шестеро или все десять.
Очевидно, все 10 человек
могут оказаться лжецами
– например, в ситуации,
когда на всех надеты
черные шапки. А дальше –
давайте рассуждать!
Предположим, что кто-то
из присутствующих сказал
правду. Тогда (в
зависимости от цвета его
шапки) в комнате три или
четыре человека в черных
шапках. В первом случае
лгут все люди в черных
шапках (трое), а во втором
– все люди в белых шапках
(шестеро).
|
|
| Задача
5. |
|
|
|
Некоторые
жилые дома в поселках
связаны сетью. Соседями
называются двое чьи дома
соединены проводом.
Всегда ли удастся
поселить в каждый дом
по одному человеку –
лжецу или рыцарю (лжецы
всегда лгут, а рыцари
всегда говорят правду) –
так, чтобы каждый из них
ответил положительно на
вопрос: «есть ли среди
ваших соседей лжецы?» (разумеется,
каждый обитатель поселка
знает про каждого из
своих соседей, лжец он
или нет). |
|
|
|
Да, всегда. Рассмотрим Д
– наибольшее
подмножество домов,
никакие два из которых не
являются соседними, (т.е.
не соединены проводом). В
каждый из таких домов
поселим лжеца, а в каждый
из остальных домов –
рыцаря. Заметим, что
каждый рыцарь является
соседом хотя бы одного
лжеца (иначе его дом мог
бы пополнить
подмножество Д), поэтому
все рыцари ответят на
заданный вопрос
утвердительно. В то же
время все соседи каждого
лжеца все рыцари. ( потому
что дома лжецов
принадлежат множеству Д,
в котором соседних домов
нет), т.е. лжец тоже должен
отвечать на тот вопрос
утвердительно.
|
|
| |
|
